Question

【題目】設(shè)數(shù)列滿足：①；②所有項(xiàng)；③ ．

設(shè)集合，將集合中的元素的最大值記為．換句話說(shuō)， 是

數(shù)列中滿足不等式的所有項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)的最大值．我們稱(chēng)數(shù)列為數(shù)列的

伴隨數(shù)列．例如，數(shù)列1,3,5的伴隨數(shù)列為1,1,2,2,3．

（1）若數(shù)列的伴隨數(shù)列為1,1,1,2,2,2,3，請(qǐng)寫(xiě)出數(shù)列；

（2）設(shè)，求數(shù)列的伴隨數(shù)列的前100之和；

（3）若數(shù)列的前項(xiàng)和（其中常數(shù)），試求數(shù)列的伴隨數(shù)列前項(xiàng)和．

Answer 1

【答案】（1）1,4,7（2） 見(jiàn)解析（3）

【解析】試題分析：（1）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義求出數(shù)列；（2）根據(jù)伴隨數(shù)列的定義得： ，由對(duì)數(shù)的運(yùn)算對(duì)分類(lèi)討論求出伴隨數(shù)列的前100項(xiàng)以及它們的和；（3）由題意和與的關(guān)系式求出，代入得，并求出伴隨數(shù)列的各項(xiàng)，再對(duì)分類(lèi)討論，分別求出伴隨數(shù)列的前項(xiàng)和．

試題解析：（1）1,4,7．

（2）由，得

∴ 當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

當(dāng)時(shí)，

∴

（3）∵ ∴

當(dāng)時(shí)，

∴

由得：

∵使得成立的的最大值為，

∴

當(dāng)時(shí)：

當(dāng)時(shí)：

當(dāng)時(shí)：

∴