Question

如圖，已知、、為不在同一直線上的三點，且，.

（1）求證：平面//平面；

（2）若平面，且，，，求證：平面；

（3）在（2）的條件下，求二面角的余弦值.

 

Answer 1

【答案】

（1）詳見解析；（2）詳見解析：（3）.

【解析】

試題分析：（1）通過證明平行四邊形分別證明和，利用直線與平面平行的判定定理得到平面和平面，最后利用平面與平面平行的判定定理證明平面平面；（2）證法1是先證明平面，于是得到，由再由四邊形為正方形得到，最后利用直線與平面垂直的判定定理證明平面；證法2是建立以以點為原點，分別以、、所在的直線為、、軸的空間直角坐標系，利用空間向量法來證明平面；（3）在（2）的基礎(chǔ)上利用空間向量法求出二面角的余弦值.

試題解析：（1）證明：且，四邊形是平行四邊形，，

面，面平面，

同理可得平面，又，平面平面；

（2）證法1：平面，平面，平面平面，

平面平面，

，，，，，平面，

，，，

又，得為正方形，，

又，平面；

證法2：，，，，，

平面，，平面，

以點為原點，分別以、、所在的直線為、、軸建立空間直角坐標系如圖示，由已知可、、、、、，

則，，，

，，，，

又，平面.

（3）由（2）得，，

設(shè)平面的法向量，則由，得，

令得，

由（2）知是平面的法向量，，

即二面角的余弦值為.

（其它解法請參照給分）

考點：1.平面與平面平行；2.直線與平面垂直；3.二面角；4.空間向量法