Question

已知函數(shù)f（x）=x+

m

x

（m為正的常數(shù)），它在（0，+∞）內(nèi)的單調(diào)變化是：在(0，

m

]內(nèi)遞減，在[

m

，+∞)內(nèi)遞增．其第一象限內(nèi)的圖象形如一個“對號”．請使用這一性質(zhì)完成下面的問題．
（1）若函數(shù)g（x）=2x+

a

x

在（0，1]內(nèi)為減函數(shù)，求正數(shù)a的取值范圍；
（2）若圓C：x²+y²-2x-2y+1=0與直線l：y=kx相交于P、Q兩點(diǎn)，點(diǎn)M（0，b）且MP⊥MQ．求當(dāng)b∈[1，+∞）時，k的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì),函數(shù)的圖象

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可知函數(shù)g(x)=2x+

a

x

=2(x+

a 2

x

)(a＞0)在(0，

a 2

]內(nèi)為減函數(shù)．進(jìn)而構(gòu)造關(guān)于a的不等式，解得正數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由MP⊥MQ，可得：k_MP•k_MQ=-1，進(jìn)而由韋達(dá)定理，構(gòu)造關(guān)于k的不等式，解得k的取值范圍．

解答： 解：（1）由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)，
可知函數(shù)g(x)=2x+

a

x

=2(x+

a 2

x

)(a＞0)在(0，

a 2

]內(nèi)為減函數(shù)．
依題意，(0，1]?(0，

a 2

]，
故

a 2

≥1得a≥2
∴a的取值范圍是[2，+∞）．
（2）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）
∵M(jìn)P⊥MQ，
∴k_MP•k_MQ=-1
∴

(y1-b)(y2-b)

x1x2

=-1，
即x₁x₂+（y₁-b）（y₂-b）=0
又y₁=kx₁，y₂=kx₂
∴x₁x₂+（kx₁-b）（kx₂-b）=0，
即(1+k2)x1x2-kb(x1+x2)+b2=0（*）
由

y=kx x2+y2-2x-2y+1=0

得：（1+k²）x²-2（1+k）x+1=0
由△=[2（1+k）]²-4（1+k²）=8k＞0得k＞0①
且x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，x1x2=

1

1+k2

代入（*）中得(1+k2)

1

1+k2

-kb

2(1+k)

1+k2

+b2=0
即

2k(1+k)

1+k2

=b+

1

b

．
由對勾函數(shù)的圖象和性質(zhì)知，b+

1

b

在b∈[1，+∞）時為增，故b+

1

b

≥1+

1

1

=2．
∴

2k(1+k)

1+k2

≥2，得k≥1②
由①②得k≥1．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，直線與圓的位置關(guān)系，直線垂直的充要條件，是函數(shù)與解析幾何的綜合應(yīng)用，難度中檔．