Question

（本小題滿分16分）對于函數(shù)，如果存在實數(shù)使得
，那么稱為的生成函數(shù)．
（Ⅰ）下面給出兩組函數(shù)，是否分別為的生成函數(shù)？并說明理由；
第一組：；
第二組：；
（Ⅱ）設(shè)，生成函數(shù)．若不等式
在上有解，求實數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)，取，生成函數(shù)使 恒成立，求的取值范圍．

Answer 1

解：（Ⅰ）① 設(shè)，即
，取，所以是的生成函數(shù)．……………………2分
② 設(shè)，即，
則，該方程組無解．所以不是的生成函數(shù)．………4分
（Ⅱ）…………………………5分
若不等式在上有解，
，即……7分
設(shè)，則，，……9分
，故，．………………………………………………………10分
（Ⅲ）由題意，得
 若，則在上遞減，在上遞增，
則，所以，得  …………12分
 若，則在上遞增，則，
所以，得．………………………………………………14分
 若，則在上遞減，則，故，無解
綜上可知，………………………………………………………16分

略