Question

10．已知公差不為零的等差數(shù)列{a_n}，滿足a₁=2，且a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}是首項為9，公比為3的等比數(shù)列．
（1）求數(shù)列的通項公式；
（2）求數(shù)列{a_nb_n}的前n項和．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式進行求解即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項公式；
（2）求出數(shù)列{c_n}的通項公式，利用錯位相減法進行求和即可

解答 解：（1）∵數(shù)列{a_n}是首項a₁=2的等差數(shù)列，a₁，a₂，a₄成等比數(shù)列，
所以${{a}_{2}}^{2}={a}_{1}•{a}_{4}$即（2+d）²=2（2+3d），解得d=2（d=0舍去），
數(shù)列{b_n}是首項為9，公比為3的等比數(shù)列．
∴a_n=2+2（n-1）=2n．b_n=3ⁿ⁺¹；
（2）∵a_n=2n，b_n=3ⁿ⁺¹．
∴c_n=a_n•b_n=2n•3ⁿ⁺¹．
則S_n=c₁+c₂+c₃+…+c_n，
即S_n=2•3²+4•3³+…+2n•3ⁿ⁺¹，
3S_n=2•3³+4•3⁴+…+2（n-1）•3ⁿ⁺¹+（2n）•3ⁿ⁺²，
兩式相減得-2S_n=2•3²+2•3³+2•3⁴+…+2•3ⁿ⁺¹-（2n）•3ⁿ⁺²
=2×$\frac{{3}^{2}（1-{3}^{n}）}{1-3}$-（2n）•3ⁿ⁺²
=-9+3ⁿ⁺²-（2n）•3ⁿ⁺²
=-9+（1-2n）•3ⁿ⁺²
則S_n=$\frac{9}{2}$+（n-$\frac{1}{2}$）•3ⁿ⁺²．

點評 本題主要考查等比數(shù)列和等差數(shù)列的通項公式的求解，以及利用錯位相減法進行求和，考查學(xué)生的運算能力．