Question

已知橢圓的中心在原點(diǎn)O，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

3

2

，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（4，1），直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）若OA⊥OB，求m的值．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）由橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為

c

a

=

3

2

，可求得

b

a

=

1

2

，設(shè)橢圓的方程，再把點(diǎn)M（4，1），代入即可；
（Ⅱ）把y=x+m代入橢圓方程，利用OA⊥OB，可得x₁x₂+y₁y₂=0，即可求解．

解答： 解：（Ⅰ）∵

c

a

=

3

2

，
∴

b

a

=

1

2

，
依題意設(shè)橢圓方程為：

x2

4b2

+

y2

b2

=1，把點(diǎn)（4，1）代入，得b²=5，
∴橢圓方程為

x2

20

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）把y=x+m代入橢圓方程得：5x²+8mx+4m²-20=0，
∵直線l：y=x+m交橢圓于不同的兩點(diǎn)A，B，
∴△=64m²-4×5（4m²-20）＞0，整理得m²＜25，
∴-5＜m＜5．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-

8m

5

，x₁x₂=

4m2-20

5

∴y₁y₂=（x₁+m）（x₂+m）=

m2-20

5

，
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=

4m2-20

5

+

m2-20

5

=0，
∴m=±2

2

，滿足題意．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，著重考查待定系數(shù)法求橢圓的方程及方程思想與化歸思想，屬于中檔題．