Question

1．某同學(xué)參加學(xué)校自主招生3門課程的考試，假設(shè)該同學(xué)第一門課程取得優(yōu)秀成績概率為$\frac{2}{5}$，第二、第三門課程取得優(yōu)秀成績的概率分別為p，q（p＜q），且不同課程是否取得優(yōu)秀成績相互獨(dú)立，記ξ為該生取得優(yōu)秀成績的課程數(shù)，其分布列為

ξ	0	1	2	3
p	$\frac{6}{125}$	x	y	$\frac{24}{125}$

（Ⅰ）求該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率及求p，q的值；
（Ⅱ）求該生取得優(yōu)秀成績課程門數(shù)的數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由已知得該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的對立事件是ξ=0，由此能求出該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率，再由P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，p＜q，列出方程組，能求出p，q．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出Eξ．

解答 解：（Ⅰ）由已知得該生至少有1門課程取得優(yōu)秀成績的概率：
P=1-P（ξ=0）=1-$\frac{6}{125}$=$\frac{119}{125}$．
∵P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，p＜q，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{5}（1-p）（1-q）=\frac{6}{125}}\\{\frac{2}{5}pq=\frac{24}{125}}\\{p＜q}\end{array}\right.$，
解得p=$\frac{3}{5}$，q=$\frac{4}{5}$．
（Ⅱ）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
P（ξ=0）=$\frac{6}{125}$，P（ξ=3）=$\frac{24}{125}$，
P（ξ=1）=$\frac{2}{5}（1-\frac{3}{5}）（1-\frac{4}{5}）$+$（1-\frac{2}{5}）×\frac{3}{5}×（1-\frac{4}{5}）$+$（1-\frac{2}{5}）×（1-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}$=$\frac{37}{125}$，
P（ξ=2）=$\frac{2}{5}×\frac{3}{5}×（1-\frac{4}{5}）+\frac{2}{5}×（1-\frac{3}{5}）×\frac{4}{5}$+$（1-\frac{2}{5}）×\frac{3}{5}×\frac{4}{5}$=$\frac{58}{125}$，
∴Eξ=$0×\frac{6}{125}+1×\frac{37}{125}+2×\frac{58}{125}+3×\frac{24}{125}$=$\frac{9}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，在歷年高考中都是必考題型之一．