Question

在平面直角坐標系中，設點(1，0)，直線:，點在直線上移動，是線段與軸的交點, .

(Ⅰ)求動點的軌跡的方程；

(Ⅱ) 記的軌跡的方程為，過點作兩條互相垂直的曲線的弦、，設、 的中點分別為．求證：直線必過定點．

Answer 1

（Ⅰ）動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為：．  

（Ⅱ）見解析

解析:

 (Ⅰ)依題意知，直線的方程為：．點是線段的中點，且⊥，∴是線段的垂直平分線．…………………….2分

∴是點到直線的距離．

∵點在線段的垂直平分線，∴．…………4分

故動點的軌跡是以為焦點，為準線的拋物線，其方程為：．    ……….7分

(Ⅱ) 設，，直線AB的方程為…………….8分

　　　　　　　　　則

（1）—（2）得，即，……………………………………9分

代入方程，解得．

所以點Ｍ的坐標為．……………………………………10分

同理可得：的坐標為．

直線的斜率為，方程為

，整理得，………………12分

顯然，不論為何值，均滿足方程，

所以直線恒過定點．………………14