Question

2．設(shè)數(shù)列{a_n}（n=1，2，3…）的前n項(xiàng)和S_n，滿足S_n=2a_n-a₁，且a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由條件S_n滿足S_n=2a_n-a₁，求得數(shù)列{a_n}為等比數(shù)列，且公比q=2；再根據(jù)a₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，求得首項(xiàng)的值，可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅱ）由于$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，利用等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求得數(shù)列$\left\{{\frac{1}{a_n}}\right\}$的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（Ⅰ）由已知S_n=2a_n-a₁，有
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1（n≥2），
即a_n=2a_n-1（n≥2），
從而a₂=2a₁，a₃=2a₂=4a₁．
又因?yàn)閍₁，a₂+1，a₃成等差數(shù)列，即a₁+a₃=2（a₂+1）
所以a₁+4a₁=2（2a₁+1），
解得：a₁=2．
所以，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
故a_n=2ⁿ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$\frac{1}{{a}_{n}}$=$\frac{1}{{2}^{n}}$，
所以T_n=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$+…+$\frac{1}{{2}^{n}}$=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-$\frac{1}{{2}^{n}}$．

點(diǎn)評 本題主要考查數(shù)列的前n項(xiàng)和與第n項(xiàng)的關(guān)系，等差、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，屬于中檔題．