Question

【題目】已知函數(shù)（，且）．

（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若存在，使得（是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）．

【解析】

試題分析：（1）先對(duì)求導(dǎo),對(duì)分情況討論,都得到在上是增函數(shù), ，∴的解集為，的解集為，得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）由已知條件得出,轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最值,分類(lèi)討論得出結(jié)果．

試題解析：解：（1）

∵當(dāng)時(shí)，，在上是增函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，，在上也是增函數(shù)，

∴當(dāng)或時(shí)，總有在上是增函數(shù)，

又，∴的解集為，的解集為，

故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．

（2）∵存在，使得成立，

而當(dāng)時(shí)，，

∴只要即可．

又∵，，的變化情況如下表所示：

		0
		0
	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

∴函數(shù)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

∴當(dāng)時(shí)，的最小值，

的最大值為和中的最大者．

∵，

令，

∵，∴在上是增函數(shù)．

而，故當(dāng)時(shí)，，即；

當(dāng)時(shí)，，即．

∴當(dāng)時(shí)， ，即，

函數(shù)在上是增函數(shù)，解得；

當(dāng)時(shí)，，即，

函數(shù)在上是減函數(shù)，解得．

綜上所述，所求的取值范圍為．