Question

2．設函數(shù)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，對任意的x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3），則滿足上述條件的f（x）可以是（　�。�

• A． f（x）=cos$\frac{πx}{3}$
• B． $f（x）=sin\frac{πx}{3}$
• C． f（x）=2cos²$\frac{πx}{6}$
• D． f（x）=2cos²$\frac{πx}{12}$

Answer 1

分析 根據(jù)抽象函數(shù)關系結(jié)合函數(shù)奇偶性的性質(zhì)求出f（3）=0，從而得到函數(shù)的周期是6，結(jié)合三角函數(shù)的周期性進行判斷即可．

解答 解：∵f（x+6）=f（x）+f（3），
∴f（-3+6）=f（-3）+f（3），
∴f（-3）=0，函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，
∴f（3）=0．
∴f（x+6）=f（x）+0=f（x），
∴f（x）是以6為周期的函數(shù)，
A．函數(shù)的周期T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}π}$=6，f（3）=cosπ=-1，不滿足條件f（3）=0．
B.$f（x）=sin\frac{πx}{3}$是奇函數(shù)，不滿足條件．
C．f（x）=2cos²$\frac{πx}{6}$=1+cos$\frac{πx}{3}$，則函數(shù)的周期是T=$\frac{2π}{\frac{1}{3}π}$=6，f（3）=1+cosπ=1-1=0，滿足條件．
D．f（x）=2cos²$\frac{πx}{12}$=1+cos$\frac{πx}{6}$，則函數(shù)的周期是T=$\frac{2π}{\frac{π}{6}}$=12，不滿足條件．
故選：C．

點評 本題主要考查抽象函數(shù)的應用，根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到函數(shù)的周期性，結(jié)合三角函數(shù)的周期性是解決本題的關鍵．