Question

 

（理）如圖，正三棱柱的所有棱長都為，為中點(diǎn)．

   （Ⅰ）求證：平面；

   （Ⅱ）求二面角的大小；

   （Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離． 

 

 

 

 

（文）設(shè)函數(shù)

證明：當(dāng)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)有且只有一個(gè)極值點(diǎn)，并求出極值

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （理）解：解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

正三棱柱中，平面平面，

平面．

連結(jié)，在正方形中，分別為

的中點(diǎn)，

，

．

在正方形中，，

平面．

（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．

，

為二面角的平面角．

在中，由等面積法可求得，

又，

．

所以二面角的大小為．

（Ⅲ）中，，．

在正三棱柱中，到平面的距離為．

設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．

由得，

．

點(diǎn)到平面的距離為．

解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．

為正三角形，．

在正三棱柱中，平面平面，

平面．

取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，，的方向?yàn)?sub>軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，

，，．

,=－1+=0,

，．

平面．

（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．

，．

，，

令得為平面的一個(gè)法向量．

由（Ⅰ）知平面，

為平面的法向量．

，．

二面角的大小為．

（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，

    ．

      點(diǎn)到平面的距離．

（文）證明：因?yàn)?sub>

   

當(dāng)上單調(diào)遞增；

如果上單調(diào)遞增.

所以當(dāng)沒有極值點(diǎn).

當(dāng)，

當(dāng)、隨x的變化情況如下表：

x
	－	0	+
		極小值

從上表可看出，

函數(shù)有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，

極小值為，

當(dāng)、隨x的變化情況如下表：

 

x
	－	0	+
		極小值

從上表可以看出，

函數(shù)有且只一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為，

綜上所述，當(dāng)沒有極值點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，

有且只有一個(gè)極小值點(diǎn)，極大值為

有且只有一個(gè)極大值點(diǎn)，極大值為