Question

某地有A、B、C、D四個(gè)村莊，恰好座落在邊長為2 km的正方形頂點(diǎn)上，為發(fā)展經(jīng)濟(jì)，當(dāng)?shù)卣�府決定建立一個(gè)使得任何兩個(gè)村莊都有通道的路網(wǎng)，道路網(wǎng)由一條中心道及四條支線組成，要求四條支道的長度相等（如圖所示）

 

 

 

 

 

 

（1）若道路網(wǎng)的總長度不超過5.5 km，試求中心道的取值范圍；

（2）問中心道長為何值時(shí)，道路網(wǎng)的總長度最短？

Answer 1

答案：
解析：

解：設(shè)中心道長度為2x. （1）由題意得2x+4≤5.5，化簡得48x2－40x+7≤0， 解得≤x≤ ∴中心道長的取值范圍是[ （2）∵y=2x+4, (y－2x)2=16(2－2x+x2) ∴12x2+(4y－32)x+32－y2=0                                                                                                                                                     ① ∵x∈R, ∴Δ=(4y－32)2－4×12(32－y2)≥0 由于y＞0, ∴y≥2+2 將ymin=2+2，代入方程①得： 12x2+(8+8—32)x+32－(2+2)2=0，解得x=1－ 答：當(dāng)?shù)缆肪W(wǎng)長度不超過5.5 km時(shí)，中心道長的取值范圍是[； 中心道長為（2－）km時(shí)，道路網(wǎng)總長度最短.