Question

（16分）已知函數(shù)

（1）求證：函數(shù)在上為單調(diào)增函數(shù)；

（2）設(shè)，求的值域；

（3）對于（2）中函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個不同的實數(shù)解，求的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）見解析；（2）值域為；（3）的取值范圍為。

【解析】本試題主要是考查了函數(shù)的單調(diào)性和最值問題，以及函數(shù)與方程的思想的綜合運(yùn)用

（1）根據(jù)已知關(guān)系式設(shè)出變量，作差，變形定號得到結(jié)論。

（2）在第一問的基礎(chǔ)上，可知分析函數(shù)的單調(diào)性得到值域。

（（3）因為由（2）可知可知其圖像，然后徐結(jié)合圖像，

設(shè)，則有三個不同的實數(shù)解，即為有兩個根，且一個在上，一個在上，然后分析得到m的范圍。

（1），設(shè)是上的任意兩個數(shù)，且，……2分

則……4分

因為，∴，∴即

所以在上為增函數(shù)，                        …………………………6分

（2），

因為，所以，所以，

即   …………………………8分

又因為時，單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，

所以單調(diào)遞增，所以值域為     …………………………10分

（3）由（2）可知大致圖象如右圖所示，

設(shè)，則有三個不同的實數(shù)解，即為有兩個根，且一個在上，一個在上，設(shè)      ………12分

①當(dāng)有一個根為1時，

，，此時另一根為適合題意； ………………13分

②當(dāng)沒有根為1時，，得，∴

∴的取值范圍為                         …………………………16分