Question

9．證明：tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．

Answer 1

分析 化切為弦，得到tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}-\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$，再通分，利用同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式能證明tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．

解答 證明：tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α}{co{s}^{2}α}-\frac{co{s}^{2}α}{si{n}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{4}α-co{s}^{4}α}{si{n}^{2}αco{s}^{2}α}$=$\frac{si{n}^{2}α-co{s}^{2}α}{（\frac{1}{2}sin2α）^{2}}$=-$\frac{cos2α}{\frac{1}{4}si{n}^{2}2α}$=-$\frac{4cos2α}{si{n}^{2}2α}$
-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$=-$\frac{2×2sin2αcos2α}{si{n}^{3}2α}$=-$\frac{4soc2α}{si{n}^{2}2α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．
∴tan²α-$\frac{1}{ta{n}^{2}α}$=-$\frac{2sin4α}{si{n}^{3}2α}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角形恒等式的證明，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意化切為弦、同角三角函數(shù)關(guān)系式、二倍角公式的合理運(yùn)用．