Question

18．關于函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$，給出下列四個命題：
①當x＞0時，y=f（x）單調(diào)遞減且沒有最值；
②方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
③如果方程f（x）=k有解，則解的個數(shù)一定是偶數(shù)；
④y=f（x）是偶函數(shù)且有最小值，
則其中真命題是②．（只要寫標題號）

Answer 1

分析 ①x＞0時，由x≠1知y=f（x）不具有單調(diào)性，判定命題錯誤；
②函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，在x＞0且k＞0時，判定函數(shù)y=f（x）與y=kx在第一象限內(nèi)有交點；由對稱性知，x＜0且k＞0時，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第二象限內(nèi)有交點；得方程f（x）=kx+b（k≠0）有解；
③函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，且f（x）=0，舉例說明k=0時，方程f（x）=k有1個解；
④函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，由①，即可判斷結(jié)論是否正確．

解答 解：①當x＞1時，y=f（x）=$\frac{x}{x-1}$=1+$\frac{1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)，
0＜x＜1時，y=f（x）=-$\frac{x}{x-1}$=-1-$\frac{1}{x-1}$在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)
且無最值；
∴命題①錯誤；
②函數(shù)f（x）=f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，當x＞0時，y=f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)；
當k＞0時，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第一象限內(nèi)一定有交點；
由對稱性知，當x＜0且k＞0時，函數(shù)y=f（x）與y=kx在第二象限內(nèi)一定有交點；
∴方程f（x）=kx+b（k≠0）一定有解；
∴命題②正確；
③∵函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，且f（x）=0，當k=0時，函數(shù)y=f（x）與y=k的圖象只有一個交點，∴方程f（x）=k的解的個數(shù)是奇數(shù)；∴命題③錯誤；
④∵函數(shù)f（x）=$\frac{|x|}{||x|-1|}$是偶函數(shù)，x≠±1，
當x＞0時，y=f（x）在區(qū)間（0，1）上是單調(diào)遞增的函數(shù)，（1，+∞）上是單調(diào)遞減的函數(shù)；
由對稱性知，函數(shù)f（x）無最小值，命題④錯誤．
故答案為：②．

點評 本題考查了含有絕對值的分式函數(shù)的圖象與性質(zhì)的問題，解題時應先去掉絕對值，化為分段函數(shù)，把分式函數(shù)分離常數(shù)，是易錯題．