Question

【題目】已知曲線C的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，過極點(diǎn)的兩射線、相互垂直，與曲線C分別相交于A、B兩點(diǎn)（不同于點(diǎn)O），且的傾斜角為銳角.

（1）求曲線C和射線的極坐標(biāo)方程；

（2）求△OAB的面積的最小值，并求此時(shí)的值．

Answer 1

【答案】（1）C的極坐標(biāo)方程為，[或]；的極坐標(biāo)方程為；（2）16，

【解析】

（1）消去參數(shù)，求得曲線的普通方程，再轉(zhuǎn)為極坐標(biāo)方程.射線過原點(diǎn)，根據(jù)角度直接寫出的極坐標(biāo)方程.（2）利用極坐標(biāo)方程求得的表達(dá)式，求得三角形面積的表達(dá)式，利用三角函數(shù)的的最值求得三角形面積的最小值，同時(shí)求得的值.

解：（1）由曲線C的參數(shù)方程，得普通方程為，

由，，得，

所以曲線C的極坐標(biāo)方程為，[或]

的極坐標(biāo)方程為；

（2）依題意設(shè)，則由（1）可得，

同理得，即，

∴

∵∴，∴ ，

△OAB的面積的最小值為16，此時(shí)，

得，∴．