Question

如圖，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面ABC⊥側(cè)面A₁ABB₁.

（Ⅰ）求證：AB⊥BC；

（Ⅱ）若直線AC與平面A₁BC所成的角為θ,二面角A₁-BC-A的大小為φ，試判斷θ與φ的大小關(guān)系，并予以證明.

Answer 1

（Ⅰ）證明：如下圖，過點A在平面A₁ABB₁內(nèi)作AD⊥A₁B于D，則由平面A₁BC⊥側(cè)面A₁ABB₁,且平面A₁BC側(cè)面A₁ABB₁=A₁B,得AD⊥平面A₁BC,又BC平面A₁BC，

                                                                                       

所以AD⊥BC．

因為三棱柱ABC―A₁B₁C₁是直三棱柱，

則AA₁⊥底面ABC，

所以AA₁⊥BC．

又AA₁AD=A,從而BC⊥側(cè)面A₁ABB₁，

又AB側(cè)面A₁ABB₁，故AB⊥BC．

（Ⅱ）解法1：連接CD，則由（Ⅰ）知是直線AC與平面A₁BC所成的角，

是二面角A₁―BC―A的平面角，即

于是在Rt△ADC中，在Rt△ADB中，

由AB＜AC，得又所以

解法2：由（Ⅰ）知，以點B為坐標(biāo)原點，以BC、BA、BB₁所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)AA₁=a,AC=b,AB=c,則 B(0,0,0), A(0,c,0),

于是

設(shè)平面A₁BC的一個法向量為n=(x,y,z)，則

由得

可取n=(0,-a,c)，于是,與n的夾角為銳角，則與互為余角.

所以

于是由c＜b，得

即又所以