Question

（08年正定中學一模理）   （12分）  已知橢圓的離心率為，直線:與以原點為圓心，以橢圓C₁的短半軸長為半徑的圓相切.

（1）求橢圓C₁的方程；

（2）設橢圓C₁的左焦點為F₁，右焦點F_2­，直線過點F₁且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點P，線段PF₂垂直平分線交于點M，求點M的軌跡C₂的方程；

（3）設C₂與x軸交于點Q，不同的兩點R，S在C₂上，且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

解析：（1），

        ∵直線l：x－y+2=0與圓x²+y²=b²相切，∴=b，∴b=，b²=2，∴a³=3.       

        ∴橢圓C₁的方程是

………………….(3分)

（2）∵MP＝MF，

∴動點M到定直線l₁：x＝－1的距離等于它的定點F₂（1，0）的距離，

∴動點M的軌跡是以l₁為準線，F₂為焦點的拋物線，                                     

 ∴點M的軌跡C₂的方程為。      …………………………….(7分)

（3）Q（0，0），設，

 

，       

由得  ，

，化簡得，

當且僅當時等號成立，

，又∵y­₂²≥64，

∴當.  

         故的取值范圍是.………………………….(12分)