Question

【題目】已知，分別為雙曲線(xiàn)的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是以為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，若線(xiàn)段的中點(diǎn)Q在C的漸近線(xiàn)上，則C的兩條漸近線(xiàn)方程為__________．

Answer 1

【答案】y＝±2x

【解析】

求得雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，由圓的性質(zhì)可得PF1⊥PF2，由三角形的中位線(xiàn)定理可得PF1⊥OQ，OQ的方程設(shè)為bx+ay＝0，運(yùn)用點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式可得F1（﹣c，0）到OQ的距離，結(jié)合雙曲線(xiàn)的定義可得b＝2a，進(jìn)而雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程．

雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±x，

點(diǎn)P是以F1F2為直徑的圓與C在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，可得PF1⊥PF2，

線(xiàn)段PF1的中點(diǎn)Q在C的漸近線(xiàn)，可得OQ∥PF2，

且PF1⊥OQ，OQ的方程設(shè)為bx+ay＝0，

可得F1（﹣c，0）到OQ的距離為b，

即有|PF1|＝2b，|PF2|＝2|OQ|＝2a，

由雙曲線(xiàn)的定義可得|PF1|﹣|PF2|＝2b﹣2a＝2a，

即b＝2a，

所以雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為y＝±2x．

故答案為：y＝±2x．