Question

在中，已知，兩邊所在的直線分別與軸交于兩點(diǎn)，且.

（I）求點(diǎn)的軌跡方程；

（Ⅱ）若，

①試確定點(diǎn)的坐標(biāo)；

②設(shè)是點(diǎn)的軌跡上的動(dòng)點(diǎn)，猜想的周長(zhǎng)最大

時(shí)點(diǎn)的位置，并證明你的猜想．

Answer 1

（I）如圖，設(shè)點(diǎn)，，由三點(diǎn)共線，

，．                …………………2分

同理，由B、C、F三點(diǎn)共線可得 .                 …………………4分

∵，∴,

化簡(jiǎn)，得點(diǎn)的軌跡方程為.…………………6分（若沒(méi)有注明則扣1分）

（Ⅱ）若，

①設(shè)，

∴.

∴，．

代入， 得．∴，即為橢圓的焦點(diǎn)．  …………………10分

②猜想：取，設(shè)是橢圓左焦點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)位于直線與橢圓的交點(diǎn)處時(shí)，

周長(zhǎng)最大，最大值為8．

證明如下：

∴的周長(zhǎng)                            …………………14分