Question

【題目】四位數(shù)和互為反序的正整數(shù)，且，、分別有16個、12個正因數(shù)（包括1和本身），的質(zhì)因數(shù)也是的質(zhì)因數(shù)，但的質(zhì)因數(shù)比的質(zhì)因數(shù)少1個，求的所有可能值.

Answer 1

【答案】

【解析】

設(shè)，.則.

由，則.

故，，.

于是，，.

由為奇數(shù)，知與一奇一偶.

若為偶數(shù)，即，則，為偶數(shù).矛盾.

因此，為偶數(shù)，為奇數(shù).

記分解質(zhì)因數(shù)后，的個數(shù)為，2的個數(shù)為.則，.

由因數(shù)個數(shù)定理得.

于是 ，，.

所以，或8，或7.

故至多有三個質(zhì)因數(shù).

于是，至多含有兩個質(zhì)因數(shù)，3是的一個質(zhì)因數(shù).

若只有一個質(zhì)因數(shù)，則這個質(zhì)因數(shù)為3.從而，，與是四位數(shù)相矛盾.

因此，含有兩個質(zhì)因數(shù).

設(shè)的另一個質(zhì)因數(shù)為.

因為，所以，或或 .

故.

又，則，，即.

由，知.

此時，的值大于.

當(dāng)時，.

而不互為反序數(shù)，于是，.此時，.

因此，.于是，，

，

. ①

.

故.

因為為奇數(shù)，所以，為奇數(shù).故.

由式①得

.

因為為偶數(shù)，所以，為偶數(shù).

于是，或8.

當(dāng)時，由式①得

.

因為，所以，.

得，，.

于是，或9.

當(dāng)時，；

當(dāng)時，.

于是，或1998.

因為，所以，.

又，符合題意.

因此，.