Question

下圖是一個直三棱柱(以A₁B₁C₁為底面)被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁＝B₁C₁＝1，∠A₁B₁C₁＝90°，AA₁＝4，BB₁＝2，CC₁＝3．

(1)設點O是AB的中點，證明：OC∥平面A₁B₁C₁；

(2)求二面角B―AC―A₁的大小；

(3)求此幾何體的體積．

Answer 1

答案：
解析：

解法一： 　　(1)證明：作交于，連． 　　則． 　　因為是的中點， 　　所以． 　　則是平行四邊形，因此有． 　　平面且平面， 　　則面． 　　(2)如圖，過作截面面，分別交，于，． 　　作于，連． 　　因為面，所以，則平面． 　　又因為，，． 　　所以，根據(jù)三垂線定理知，所以就是所求二面角的平面角． 　　因為，所以，故， 　　即：所求二面角的大小為． 　　(3)因為，所以 　　． 　　． 　　所求幾何體體積為 　　． 　　解法二： 　　(1)如圖，以為原點建立空間直角坐標系， 　　則，，，因為是的中點，所以， 　　． 　　易知，是平面的一個法向量． 　　因為，平面，所以平面． 　　(2)，， 　　設是平面的一個法向量，則 　　則，得： 　　取，． 　　顯然，為平面的一個法向量． 　　則，結(jié)合圖形可知所求二面角為銳角． 　　所以二面角的大小是．