Question

【題目】如圖所示，四棱錐的側面底面，底面是直角梯形，且, , 是中點.

（1）求證： 平面；

（2）若，求直線與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）．

【解析】試題分析：（1）取的中點，連結，易得， ，從而得平面，只需證得即可；

（2）設點O，G分別為AD，BC的中點，連結，則，可證得平面，故兩兩垂直，可以點O為原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用即可得解.

試題解析：

（1）證明：取的中點，連結，如圖所示．

因為，所以．

因為側面, 且,

所以平面，又平面，所以．

又因為，所以平面．

因為點是中點，所以，且．

又因為，且，所以，且，

所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面．

（2）設點O，G分別為AD，BC的中點，連結，則，

因為平面， 平面，

所以，所以．

因為，由（Ⅰ）知，

又因為，所以，

所以

所以為正三角形，所以，

因為平面， 平面，所以．

又因為，所以平面．

故兩兩垂直，可以點O為原點，分別以的方向為軸的正方向，

建立空間直角坐標系，如圖所示．

， ， ，

所以， ， ，

設平面的法向量，

則所以取，則，

設與平面所成的角為，則，

因為，所以，所以與平面所成角的大小為．