Question

已知橢圓的離心率為．
（Ⅰ）過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F且垂直于長(zhǎng)軸的直線被橢圓截得的弦 長(zhǎng)為1，求橢圓C的方程；
（Ⅱ）設(shè)經(jīng)過(guò)橢圓C右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)P，且，求λ₁+λ₂的值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由題意得解得（2分）
所以所求的橢圓方程為：．（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，得．
設(shè)直線l方程為：，A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），
B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），得P點(diǎn)坐標(biāo)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258308.png' />，所以
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258310.png' />，所以．（6分）
得，．（7分）
由（8分）
得．
所以．（10分）
+=
=．（12分）
分析：（Ⅰ）由題意得解得，由此能得到所求的橢圓方程．
（Ⅱ）由，得．設(shè)直線l方程為：，A點(diǎn)坐標(biāo)為（x₁，y₁），
B點(diǎn)坐標(biāo)為（x₂，y₂），得P點(diǎn)坐標(biāo)，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258308.png' />，所以．因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/258310.png' />，所以由此能求出λ₁+λ₂的值．
點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線和直線的綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．