Question

如圖，設橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），動直線l與橢圓C只有一個公共點P，且點P在第一象限．
（Ⅰ）已知直線l的斜率為k，用a，b，k表示點P的坐標；
（Ⅱ）若過原點O的直線l₁與l垂直，證明：點P到直線l₁的距離的最大值為a-b．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程,圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+m（k＜0），由

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y得（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0，利用△=0，可求得在第一象限中點P的坐標；
（Ⅱ）由于直線l₁過原點O且與直線l垂直，設直線l₁的方程為x+ky=0，利用點到直線間的距離公式，可求得點P到直線l₁的距離d=

| -a2k b2+a2k2 + b2k b2+a2k2 |

1+k2

，整理即可證得點P到直線l₁的距離的最大值為a-b．．

解答： 解：（Ⅰ）設直線l的方程為y=kx+m（k＜0），由

y=kx+m x2 a2 + y2 b2 =1

，消去y得
（b²+a²k²）x²+2a²kmx+a²m²-a²b²=0．
由于直線l與橢圓C只有一個公共點P，故△=0，即b²-m²+a²k²=0，解得點P的坐標為
（-

a2km

b2+a2k2

，

b2m

b2+a2k2

），
又點P在第一象限，故點P的坐標為P（

-a2k

b2+a2k2

，

b2

b2+a2k2

）．
（Ⅱ）由于直線l₁過原點O且與直線l垂直，故直線l₁的方程為x+ky=0，所以點P到直線l₁的距離
d=

| -a2k b2+a2k2 + b2k b2+a2k2 |

1+k2

，
整理得：d=

a2-b2

b2+a2+a2k2+ b2 k2

，
因為a²k²+

b2

k2

≥2ab，所以

a2-b2

b2+a2+a2k2+ b2 k2

≤

a2-b2

b2+a2+2ab

=a-b，當且僅當k²=

b

a

時等號成立．
所以，點P到直線l₁的距離的最大值為a-b．

點評：本題主要考查橢圓的幾何性質、點到直線間的距離、直線與橢圓的位置關系等基礎知識，同時考查解析幾何的基本思想方法、基本不等式應用等綜合解題能力．