Question

【題目】已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為，其離心率，以原點(diǎn)為圓心，橢圓的半焦距為半徑的圓與直線相切．

（1）求的方程；

（2）過的直線交于兩點(diǎn)， 為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)，若四邊形的面積滿足： ，求直線的斜率．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：

(1) 利用題意列出方程組求解 的值即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式得到關(guān)于 的方程，解方程即可球的最終結(jié)果，注意直線斜率不存在的情況.

試題解析：

（I）由題意得, 故橢圓的方程為．

(II)由于直線的傾斜角不可為零，所以設(shè)直線的方程為,

與聯(lián)立可得

設(shè)則 可得

設(shè), 又 所以 因為在上, 故

--------------------①

設(shè)為點(diǎn)到直線的距離, 為點(diǎn)到直線的距離,則

又由點(diǎn)到直線的距離公式得,

而 所以

由題意知, 所以 將代入①式