Question

【題目】已知數(shù)列{}中， ，且對(duì)任意正整數(shù)都成立，數(shù)列{}的前n項(xiàng)和為Sn。

（1）若，且，求a；

（2）是否存在實(shí)數(shù)k，使數(shù)列{}是公比不為1的等比數(shù)列，且任意相鄰三項(xiàng)按某順序排列后成等差數(shù)列，若存在，求出所有k值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）若。

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：（1）時(shí)， ，由等差數(shù)列定義知數(shù)列是等差數(shù)列，由可得，解得，（2）等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，從等差數(shù)列列等量關(guān)系：因?yàn)閿?shù)列{}是公比不為1，所以不為等差中項(xiàng)，只需討論與為等差中項(xiàng)：若為等差中項(xiàng)，則，即，化簡(jiǎn)得： ，解得（舍1）； ；同理若為等差中項(xiàng)， （3）則， ，從而，所以求和時(shí)要重新組合，每?jī)身?xiàng)作為一組，先求是偶數(shù)時(shí)，

，再求是奇數(shù)時(shí)，

，

試題解析：（1）時(shí)， ， ，所以數(shù)列是等差數(shù)列 1分

此時(shí)首項(xiàng)，公差，數(shù)列的前項(xiàng)和是3分

故，即，得； 4分

（沒(méi)有過(guò)程，直接寫(xiě)不給分）

（2）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，則它的公比，所以， ， 6分

①若為等差中項(xiàng)，則，即，解得： ，不合題意；

②若為等差中項(xiàng)，則，即，化簡(jiǎn)得： ，

解得（舍1）； ；

③若為等差中項(xiàng)，則，即，化簡(jiǎn)得： ，

解得； ； 9分

綜上可得，滿足要求的實(shí)數(shù)有且僅有一個(gè)， ； 10分

（3）則，

， ， 12分

當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，

，

當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，

， 也適合上式， 15分

綜上可得， ． 16分