Question

【題目】對于函數，若存在，使成立，則稱為的不動點.已知函數 .

（1）當，時，求函數的不動點；

（2）若對任意實數，函數恒有兩個相異的不動點，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，若的兩個不動點為，，且，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）－1、4為的不動點；（2）；（3）.

【解析】

（1）根據不動點定義得到方程，解方程求得結果；（2）將問題轉化為恒有兩個不等實根，利用判別式得到滿足的不等式，將其看做關于的二次函數，可知當時，函數取最小值，從而得到關于的不等式，求解得到結果；（3）利用已知得到，根據對號函數的性質求得最值即可得到所求范圍.

（1）由題意知：

設為不動點，因此

解得：或

所以、為的不動點.

（2）因為恒有兩個不動點

即恒有兩個不等實根

整理為： 恒成立

即對于任意，恒成立

令，則

，解得：

（3）

，