Question

已知⊙C₁：x²+（y+5）²=5．
（1）求過點(diǎn)A（1，-3）且與⊙C₁相切的直線l的方程；
（2）設(shè)⊙C₂為⊙C₁關(guān)于（1）中的直線l對(duì)稱的圓，則在x軸上是否存在點(diǎn)P，使得P到兩圓的切線長(zhǎng)之比為

2

？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，試說明理由；
（3）設(shè)Q是直線y=x+4上的任意一點(diǎn)，EF為⊙C₁的任意一條直徑（E、F為直徑的兩個(gè)端點(diǎn)），求

QE

•

QF

的最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓的位置關(guān)系,圓的切線方程

專題：計(jì)算題,直線與圓

分析：（Ⅰ）先判定點(diǎn)在圓上，用點(diǎn)斜式求切線l的方程．
（Ⅱ）求出對(duì)稱圓的方程，設(shè)x軸上P點(diǎn)坐標(biāo)，利用半徑和PC₂的距離，解出兩個(gè)切線長(zhǎng)，再用切線長(zhǎng)之比解出結(jié)果．
（3）

QE

•

QF

=

4 QC1 2-( QE 2+ QF 2)

2

，△QEF中，由余弦定理可得QE²+QF²=2

QE

•

QF

+20，從而可得

QE

•

QF

=QC₁²-5，故當(dāng)QC₁最小時(shí)，

QE

•

QF

取得最小值

解答： 解：（1）C₁（0，-5），r=

5

，
因?yàn)辄c(diǎn)A恰在⊙C₁上，所以點(diǎn)A即是切點(diǎn)，直線l的斜率為-

1

2

，
所以，直線l的方程為y+3=-

1

2

（x-1），即x+2y+5=0；
（2）因?yàn)辄c(diǎn)A恰為C₁C₂中點(diǎn)，所以，C₂（2，-1），
所以，⊙C₂：（x-2）²+（y+1）²=5，
設(shè)P（a，0），

PC12-5

PC22-5

=2或

1

2

，
所以

a2+20

(a-2)2-4

=2或

1

2

，
解得a=-2或10．
所以P（-2，0）或（10，0）
綜上，存在兩點(diǎn)P（-2，0）或P（10，0）適合題意．
（3）由題意可得圓心C₁（0，-5），EF=2

5

為直徑．
由于

QE

+

QF

=2

QC1

，平方可得

QE

•

QF

=

4 QC1 2-( QE 2+ QF 2)

2

①．
△QEF中，由余弦定理可得 EF²=20=QE²+QF²-2QE•QFcos∠EQF
=QE²+QF²-2

QE

•

QF

，
∴QE²+QF²=2

QE

•

QF

+20 ②，
把②代入①可得

QE

•

QF

=2QC₁²-

QE

•

QF

-10，
∴

QE

•

QF

=QC₁²-5，故當(dāng)QC₁最小時(shí)，

QE

•

QF

取得最小值
由于QC₁的最小值是點(diǎn)C₁到直線l：x-y+4=0的距離，為

9

2

=

9 2

2

，
故

QE

•

QF

的最小值為

71

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要直線與圓的位置關(guān)系，考查兩個(gè)向量的數(shù)量積的運(yùn)算，直線和圓相交的性質(zhì)，余弦定理的應(yīng)用，屬于中檔題．