Question

某班共有學生40人，將一次數(shù)學考試成績（單位：分）繪制成頻率分布直方圖，如圖所示．
（Ⅰ）請根據(jù)圖中所給數(shù)據(jù)，求出a的值；
（Ⅱ）從成績在[50，70）內(nèi)的學生中隨機選3名學生，求這3名學生的成績都在[60，70）內(nèi)的概率；
（Ⅲ）為了了解學生本次考試的失分情況，從成績在[50，70）內(nèi)的學生中隨機選取3人的成績進行分析，用X表示所選學生成績在[60，70）內(nèi)的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學期望．

Answer 1

解：（Ⅰ）根據(jù)頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)，可得，
所以 a=0.03． …（2分）
（Ⅱ）學生成績在[50，60）內(nèi)的共有40×0.05=2人，在[60，70）內(nèi)的共有40×0.225=9人，
成績在[50，70）內(nèi)的學生共有11人． …（4分）
設(shè)“從成績在[50，70）的學生中隨機選3名，且他們的成績都在[60，70）內(nèi)”為事件A，
…（5分）
則． …（7分）
所以選取的3名學生成績都在[60，70）內(nèi)的概率為．
（Ⅲ）依題意，X的可能取值是1，2，3． …（8分）；
；
． …（10分）
所以X的分布列為

ξ	1	2	3
P

…（11分）
． …（13分）
分析：（I）根據(jù)頻率分布直方圖，結(jié)合頻率之和為1，看出小矩形的高的值即得a的值．
（II）設(shè)“從成績在[50，70）的學生中隨機選3名，且他們的成績都在[60，70）內(nèi)”為事件A．先算出學生成績在[50，60）內(nèi)的和在[60，70）內(nèi)的人數(shù)，根據(jù)成績在[50，70）內(nèi)的學生有11人，而且這些事件的可能性相同，根據(jù)概率公式計算，那么即可求得事件A的概率．
（III）根據(jù)題意看出變量X的可能取值，結(jié)合變量對應的事件和等可能事件的概率公式，寫出變量的概率．列出分布列和期望值．
點評：此題考查了對頻率分布直方圖的掌握情況，考查的是概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和期望，本題解題的關(guān)鍵是利用等可能事件的概率公式做出變量對應的概率值．