Question

如圖：已知三棱錐P-ABC中，PA⊥面ABC，AB⊥AC，PA=AC=

1

2

AB=2，N為AB上一點，AB=4AN，M，S分別為PB，BC的中點．
（1）求面MNC與面NCB所成的銳二面角的余弦值．
（2）在線段PA（包括端點）上是否存在一點Q，使SQ⊥平面MNC？若存在，確定Q的位置；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：二面角的平面角及求法,直線與平面垂直的性質(zhì)

專題：計算題,空間位置關系與距離,空間角

分析：建立空間直角坐標系，利用向量法分別證明直線垂直，求二面角的大小即可．

解答： 解：（1）以A為原點，射線AB，AC，AP分別為x，y，z軸正向建立空間直角坐標系如圖，
則M（2，0，1），N（1，0，0），C（0，2，0），B（4，0，0），P（0，0，2），S（2，1，0），
∴

MN

=（-1，0，-1），

NC

=（-1，2，0），
設面MNC的法向量為

n

=（x，y，z），則

-x-z=0 -x+2y=0

，
∴

n

=（2，1，-2），
∵面NCB的法向量為

m

=（0，0，2），
∴面MNC與面NCB所成的銳二面角的余弦值為|

4

4+1+4 •2

=

2

3

；
（2）設Q（0，0，c）（0≤c≤2），則

SQ

=（-2，-1，c），
若SQ⊥平面MNC，則

SQ

∥

n

，∴c=2，
即Q為P點時，SQ⊥平面MNC．

點評：本題主要考查空間位置關系的判斷，以及空間二面角和的大小求法，建立空間直角坐標系，利用向量坐標法是解決此類問題比較簡潔的方法．