Question

（理）如圖，已知正三棱柱ABC-A₁B₁C₁的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC₁的中點(diǎn)，則異面直線(xiàn)AB₁和BM所成的角的大小是（　　）

A．90°

B．60°

C．45°

D．30°

Answer 1

分析：設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)等于2，延長(zhǎng)MC₁到N使MN=BB₁，連接AN．可得∠AB₁N（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)AB₁和BM所成角，然后在△AB₁N中分別算出三條邊的長(zhǎng)，利用余弦定理得cos∠AB₁N=0，可得∠AB₁N=90°，從而得到異面直線(xiàn)AB₁和BM所成角．

解答：解：設(shè)三棱柱ABC-A₁B₁C₁的棱長(zhǎng)等于2，延長(zhǎng)MC₁到N使MN=BB₁，連接AN，則
∵M(jìn)N∥BB₁，MN=BB₁，∴四邊形BB₁NM是平行四邊形，可得B₁N∥BM
因此，∠AB₁N（或其補(bǔ)角）就是異面直線(xiàn)AB₁和BM所成角
∵Rt△B₁C₁N中，B₁C₁=2，C₁N=1，∴B₁N=

5

∵Rt△ACN中，AC=2，CN=3，∴AN=

13

又∵正方形AA₁B₁B中，AB₁=2

2

∴△AB₁N中，cos∠AB₁N=

5+8-13

2× 5 ×2 2

=0，可得∠AB₁N=90°
即異面直線(xiàn)AB₁和BM所成角為90°
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題在所有棱長(zhǎng)均相等的正三棱柱中，求異面直線(xiàn)所成的角大小，著重考查了正三棱柱的性質(zhì)、余弦定理和異面直線(xiàn)所成角求法等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．