Question

（本小題滿分16分）（本題中必要時(shí)可使用公式：）　

　設(shè)是各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮項(xiàng)等差數(shù)列．

（Ⅰ）記，已知

　，試求此等差數(shù)列的首項(xiàng)a₁及公差d；

（Ⅱ）若的首項(xiàng)a₁及公差d都是正整數(shù)，問(wèn)在數(shù)列中是否包含一個(gè)非常數(shù)列　

　的無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列？若存在，請(qǐng)寫(xiě)出的構(gòu)造過(guò)程；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

解：（1）依題意：，，

   所以，

   ，

   則…………2分+3分=5分

  即

  所以

  因?yàn)閿?shù)列為無(wú)窮項(xiàng)，所以，所以d=2，

  代入（1）（2）得

  當(dāng)n=1代入（3），得，

由（4），當(dāng)a₁<1時(shí)，對(duì)充分大的n，（4）不成立，所以，a₁=1………………（7分）

  經(jīng)檢驗(yàn)，a₁=1，d=2滿足題意；            ………………………………………………（8分）

（2）…

     取

     

     ……

故數(shù)列是以a₁為首項(xiàng)，1+d（大于1）為公比的非常數(shù)等比數(shù)列；

又由的取法可知，是正整數(shù)之和，記做k。

所以，

從而，…中的項(xiàng)

所以，存在這樣的非常數(shù)列的無(wú)窮項(xiàng)等比數(shù)列，它包含在中．…………（16分）