Question

圓心在曲線y=

3

x

（x＞0）上，且與直線3x+4y+3=0相切的面積最小的圓的方程為

（x-2）²+（y-

3

2

）²=9

．

Answer 1

分析：設圓心為（a，

3

a

），a＞0，圓心到直線的最短距離為：

|3a+4× 3 a |+3

9+16

，再由a的值化簡，并利用均值不等式求出r的最小值，即可求出圓的方程．

解答：解：設圓心為（a，

3

a

），a＞0，
圓心到直線的最短距離為：

|3a+4× 3 a |+3

9+16

=

1

5

|3a+

12

a

+3|=r
∴|3a+

12

a

+3|=5r

∵a＞0，
∴3a+

12

a

+3=5r

欲求面積最小的圓的方程，即求r最小時a和r的值，

5r=3a+

12

a

+3≥2

3a• 12 a

+3=15

∴r≥3，當3a=

12

a

，即a=2時，取等號，

∴面積最小的圓的半徑r=3，圓心為（2，

3

2

）

所以面積最小的圓的方程為：（x-2）²+（y-

3

2

）²=9

點評：本題考查圓的標準方程的求法，考查點到直線的距離公式和圓的性質的應用，解題時要認真審題，仔細解答，注意均值定理的靈活運用．