Question

（本題滿分14分）設(shè)函數(shù)（1）當(dāng)時，求的最大值；（2）令，（0≤3），其圖象上任意一點處切線的斜率≤恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （3）當(dāng)，，方程有唯一實數(shù)解，求正數(shù)的值。

Answer 1

(Ⅰ)    (Ⅱ)  ≥ （Ⅲ）

解析:

（1）依題意，知的定義域為（0，+∞）當(dāng)時，，

       （2′）

       令=0，解得.（∵）因為有唯一解，所以

       當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減。

       所以的極大值為，此即為最大值。（5′）

   （2），，則有≤，在上恒成立，

       所以≥，（8′）

       當(dāng)時，取得最大值，所以≥（10′）

   （3）因為方程有唯一實數(shù)解，所以有唯一實數(shù)解，

       設(shè)，則.    令，得.

       因為，，所以（舍去），，

       當(dāng)時，，在（0，）上單調(diào)遞減，

       當(dāng)時，，在（，+∞）單調(diào)遞增

       當(dāng)時，=0，取最小值.（12′）

       則既

       所以，因為，所以（*）

       設(shè)函數(shù)，因為當(dāng)時，是增函數(shù)，所以至多有一解。

       因為，所以方程（*）的解為，即，解得.（14′）