Question

13．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取極小值，則u=$\frac{b-2}{a-1}$的取值范圍是$（\frac{1}{4}，1）$．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于a，b的不等式組，畫出滿足條件的平面區(qū)域，結(jié)合圖象求出u的范圍即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$ax²+2bx+c，
∴f′（x）=x²+ax+2b，
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）內(nèi)取得極大值，在區(qū)間（1，2）內(nèi)取得極小值
∴f′（x）=x²+ax+2b=0在（0，1）和（1，2）內(nèi)各有一個根
f′（0）＞0，f′（1）＜0，f′（2）＞0
即$\left\{\begin{array}{l}{b＞0}\\{a+2b+1＜0}\\{a+b+2＞0}\end{array}\right.$，
畫出滿足條件的平面區(qū)域，如圖示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{a+2b+1=0}\\{a+b+2=0}\end{array}\right.$，解得：A（-3，1），
則u=$\frac{b-2}{a-1}$的幾何意義表示平面區(qū)域內(nèi)的點與（1，2）的直線的斜率，
而K_AB=$\frac{1}{4}$，K_BC=1，
故u∈$（\frac{1}{4}，1）$，
故答案為：$（\frac{1}{4}，1）$．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及簡單的線性規(guī)劃問題，數(shù)形結(jié)合思想，是一道中檔題．