Question

17．計算${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$+e^2x+cos²x）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1．

Answer 1

分析 根據(jù)定積分的幾何意義可得${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一，再根據(jù)定積分的計算法則計算即可．

解答 解：${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$表示以（1，0）為圓心，以1為半徑的圓的面積的四分之一，
故${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$=$\frac{π}{4}$，
${∫}_{0}^{1}$（e^2x+cos²x）dx=${∫}_{0}^{1}$（e^2x+$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{1}{2}$）dx=（$\frac{1}{2}$e^2x+$\frac{1}{4}$sin2x+$\frac{1}{2}$x）|${\;}_{0}^{1}$=（$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1+$\frac{1}{2}$×1）-（$\frac{1}{2}$e⁰+$\frac{1}{4}$sin0+$\frac{1}{2}$×0）=$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1，
故${∫}_{0}^{1}$（$\sqrt{1-（x-1）^{2}}$+e^2x+cos²x）dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1，
故答案為：$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{2}$e²+$\frac{1}{4}$sin1

點評 本題考查了定積分的計算和定積分的幾何意義，關(guān)鍵是求出原函數(shù)，屬于基礎(chǔ)題．