Question

已知橢圓：的離心率為，直線:與以原點為圓心、以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.

 （Ⅰ）求橢圓的方程；

 （Ⅱ）設橢圓的左焦點為，右焦點，直線過點且垂直于橢圓的長軸，動直線垂直于點，

線段垂直平分線交于點，求點的軌跡的方程；

 （Ⅲ）設與軸交于點，不同的兩點在上，且滿足，求的取值范圍.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用離心率和直線與圓相切得到兩個等量關系，確定橢圓方程；（Ⅱ）利用定義法求解曲線方程；（Ⅲ）采用坐標法，將向量問題坐標化，進行有效的整理為，然后借助均值不等式進行求解范圍.

試題解析：（Ⅰ）∵  

∵直線相切，

∴   ∴        3分

∵橢圓的方程是           6分

（Ⅱ）∵，

∴動點到定直線：的距離等于它到定點的距離，

∴動點的軌跡是為準線，為焦點的拋物線        6分

∴點的軌跡的方程為      9分

（Ⅲ），設、 

∴ 

∵，∴

∵，化簡得          11分

∴

當且僅當即時等號成立       13分

∵，又

∴當即時，，故的取值范圍是  14分

考點：1.橢圓方程；2.拋物線的定義；3.坐標法的應用.