Question

15．已知函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}，{-1＜x≤1}\\{f（x-2）+1}，{1＜x≤3}\end{array}\right.$，則函數(shù)g（x）=f（f（x））-2在區(qū)間（-1，3]上的零點(diǎn)個數(shù)是（　�。�

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 利用分類討論法，求出函數(shù)f（x）取值范圍，再求出f（f（x））的取值范圍，即可得出函數(shù)g（x）的零點(diǎn)個數(shù)．

解答 解：∵函數(shù)f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x}}，{-1＜x≤1}\\{f（x-2）+1}，{1＜x≤3}\end{array}\right.$，
∴當(dāng)-1＜x≤1時，$\frac{1}{2}$＜f（x）≤2，
當(dāng)1＜x≤3時，-1＜x-2≤1，f（x）=f（x-2）+1=2^x-2+1∈（$\frac{3}{2}$，3]；
設(shè)h（x）=f（f（x）），
當(dāng)-1＜x≤0時，h（x）=${2}^{{2}^{x}}$，$\sqrt{2}$＜h（x）≤2，
∴g（x）=h（x）-2有一個零點(diǎn)x=0；
當(dāng)0＜x≤1時，h（x）=${2}^{{2}^{x}-2}+1$，$\frac{3}{2}$＜h（x）≤2，
∴g（x）=h（x）-2有一個零點(diǎn)x=1；
當(dāng)1＜x≤3時，h（x）=${2}^{{2}^{x-2}+1-2}$+1
$\frac{\sqrt{2}}{2}$+1＜h（x）≤3g（x）有一個零點(diǎn)；
綜上，函數(shù)g（x）在區(qū)間（-1，3]上有3個零點(diǎn)．
故選：C．

點(diǎn)評 本題考查了分段函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)問題，也考查了分類討論思想的應(yīng)用問題，是較難的題目．