Question

已知橢圓的的右頂點為A，離心率，過左焦點作直線與橢圓交于點P，Q，直線AP，AQ分別與直線交于點．
（Ⅰ）求橢圓的方程；
（Ⅱ）證明以線段為直徑的圓經(jīng)過焦點．

Answer 1

（Ⅰ） 橢圓方程為．（Ⅱ） 見解析

（Ⅰ）由離心率，過左焦點F（-1，0），可求得 c=1，a=2，從而可求b=" 3" ，進(jìn)而可得橢圓方程；（Ⅱ） 斜率存在時，設(shè)直線l方程為 y=k（x+1），與橢圓方程聯(lián)立，消去y 整理得．進(jìn)而可求M，N的坐標(biāo)關(guān)系，從而可證；斜率不存在時，同理可證，從而以線段MN為直徑的圓經(jīng)過定點F
（Ⅰ）由已知 ∴，
∴ 橢圓方程為．——————————5分
（Ⅱ） 設(shè)直線方程為 ，
由   得．
設(shè)，則．—————7分
設(shè)，則由共線，得
  有 ．同理 ．
∴．——————9分

∴，即，以線段為直徑的圓經(jīng)過點F；
當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨設(shè)．則有,
∴，即，以線段為直徑的圓經(jīng)過點F．
綜上所述，以線段為直徑的圓經(jīng)過定點F．