Question

【題目】如圖，已知橢圓與的中心在坐標原點，長軸均為且在軸上，短軸長分別為，，過原點且不與軸重合的直線與，的四個交點按縱坐標從大到小依次為，記，和的面積分別為和.

（1）當直線與軸重合時，若，求的值；

（2）當變化時，是否存在與坐標軸不重合的直線，使得？并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）設出兩個橢圓的方程，當直線與軸重合時，求出和的面積分和，直接由面積比列式求的值.

（2）假設存在與坐標軸不重合的直線，使得，設出直線方程，由點到直線的距離公式求出和到直線的距離，利用數學轉化思想把兩個三角形的面積比轉化為線段長度比，由弦長公式得到線段長度比的另一表達式，兩式相等得到，換元后利用非零的值存在討論的取值范圍.

由題意可設橢圓和的方程分別為

，，

其中，

（1）如圖，若直線與軸重合，即直線的方程為

，

所以

在和的方程中分別令，

可得 于是

若則 化簡得

由解得

故直線與軸重合時，若，則

（2）如圖

在與坐標軸不重合的直線，使得，

根據對稱性，不妨設直線 ，

點，，到直線的距離分別為，

則，，

所以，

又

，

所以即

由對稱性可知

所以

于是①

將直線的方程分別與和的方程聯立，

可求得

根據對稱性可知

于是

，②

從而由①和②可得

，③

令，則由，

可得于是由③可得

因為 所以

于是③關于有解，當且僅當

等價于

由解得

即，由解得

所以當時，不存在與坐標軸不重合的直線使得

當時，存在與坐標軸不重合的直線使得