Question

【題目】為解決城市的擁堵問題，某城市準備對現(xiàn)有的一條穿城公路MON進行分流，已知穿城公路MON自西向東到達城市中心點O后轉向東北方向（即）．現(xiàn)準備修建一條城市高架道路L，L在MO上設一出入口A，在ON上設一出入口B．假設高架道路L在AB部分為直線段，且要求市中心O與AB的距離為10km．

（1）求兩站點A，B之間距離的最小值；

（2）公路MO段上距離市中心O30km處有一古建筑群C，為保護古建筑群，設立一個以C為圓心，5km為半徑的圓形保護區(qū)．則如何在古建筑群C和市中心O之間設計出入口A，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）？

Answer 1

【答案】（1）；（2）設計出入口A離市中心O的距離在到20km之間時，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）．

【解析】

（1）過點O作于點E，則，設，則，，則有，然后利用三角函數(shù)的知識求出分母的最大值即可

（2）以O為原點建立平面直角坐標系，設直線AB的方程為，可得和，解得或（舍），可得，又當時，，從而可得.

（1）過點O作于點E，則，

設，則，

所以，

所以；

因為；

所以當時，AB取得最小值為；

（2）以O為原點建立平面直角坐標系，如圖所示；

則圓C的方程為，

設直線AB的方程為；

∴，∴，

解得或（舍），∴，

又當時，，

所以；

綜上知，當時，即設計出入口A離市中心O的距離在到20km之間時，才能使高架道路L及其延伸段不經(jīng)過保護區(qū)（不包括臨界狀態(tài)）．