Question

（理）正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直線A₁B與平面A₁B₁CD所成的角的正切值等于（　�。�

• A、1
• B、

  3

  3

• C、

  2

• D、

  2

  2

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，利用向量法能求出直線A₁B與平面A₁ B₁CD所成的角的正切值．

解答： 解：設(shè)正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為1，
以D為原點，建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz，
D（0，0，0），A₁（1，0，1），C（0，1，0），
B（1，1，0），

A1B

=（0，1，-1），

DA1

=(1，0，1)，

DC

=（0，1，0），
設(shè)平面A₁ B₁CD的法向量

n

=(x，y，z)，
則

n • DA1 =x+z=0 n • DC =y=0

，
取x=1，得

n

=（1，0，-1），
設(shè)直線A₁B與平面A₁ B₁CD所成的角為θ，
則sinθ=|cos＜

n

，

A1B

＞|=|

1

2 × 2

|=

1

2

，
∴tanθ=1．
∴直線A₁B與平面A₁ B₁CD所成的角的正切值為1．
故選：A．

點評：本題考查直線與平面所成角的正切值的求法，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．