Question

4．已知正項(xiàng)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₂a_n=S₁+S_n對(duì)一切正整數(shù)n都成立．
（1）求a₁，a₂的值；
（2）若數(shù)列{$\frac{{a}_{1}}{（n+2）lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：T_n＜$\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）由于a₂a_n=S₁+S_n對(duì)一切正整數(shù)n都成立，分別令n=1，2即可得出；
（2）a₂a_n=S₁+S_n化為：S_n=2a_n-1，利用遞推式與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可得：a_n=2^n-1．于是$\frac{{a}_{1}}{（n+2）lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．利用“裂項(xiàng)求和”即可得出．

解答 （1）解：∵a₂a_n=S₁+S_n對(duì)一切正整數(shù)n都成立，
∴分別令n=1，2，可得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{2}{a}_{1}={a}_{1}+{a}_{1}}\\{{a}_{2}{a}_{2}={2a}_{1}+{a}_{2}}\end{array}\right.$，a_n＞0，解得a₁=1，a₂=2．
（2）證明：a₂a_n=S₁+S_n化為：S_n=2a_n-1，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=（2a_n-1）-（2a_n-1-1），化為a_n=2a_n-1．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為1，公比為2．
∴a_n=2^n-1．
∴$\frac{{a}_{1}}{（n+2）lo{g}_{2}{a}_{n+1}}$=$\frac{1}{（n+2）lo{g}_{2}{2}^{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）$．
∴T_n=$\frac{1}{2}$$[（1-\frac{1}{3}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{4}）$+$（\frac{1}{3}-\frac{1}{5}）$+…+$（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n+1}）$+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2}）]$
=$\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）$＜$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}$=$\frac{3}{4}$．
∴T_n＜$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)求和”、不等式的證明，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．