Question

【題目】（題文）已知函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為．

（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍；

（2）求證：．

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)，得出

，即可求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（2）由題意，方程有兩個(gè)根為，不妨設(shè)，要證明，即證明，即證明，令，證明對(duì)任意恒成立即可.

（1），當(dāng)時(shí)，，

在上單調(diào)遞增，不可能有兩個(gè)零點(diǎn)；

當(dāng)時(shí)，由可解得，由可解得，

所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以，

要使得在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則，解得，

則m的取值范圍為．

（2）令，則，

由題意知方程有兩個(gè)根，

即方程有兩個(gè)根，

不妨設(shè)，，令，

則當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，

綜上可知，，

要證，即證，即，即證，

令，下面證對(duì)任意的恒成立，

∵，∴，

∴

又∵，∴

∴，則在單調(diào)遞增

∴，故原不等式成立．