Question

已知{a_n}為等差數(shù)列，且a_n≠0，公差d≠0．
（1）試證：

1

a1

-

1

a2

=

d

a1a2

；

C 0 2

a1

-

C 1 2

a2

+

C 2 2

a3

=

2d2

a1a2a3

；

C 0 3

a1

-

C 1 3

a2

+

C 2 3

a3

-

C 3 3

a4

=

6d3

a1a2a3a4

；
（2）根據(jù)（1）中的幾個(gè)等式，試歸納出更一般的結(jié)論，并用數(shù)學(xué)歸納法證明．

Answer 1

分析：（1）把三個(gè)式子分別通分后，利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)即可得證；（2）根據(jù)第一問(wèn)的三個(gè)等式，歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-…+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2…an

，然后利用數(shù)學(xué)歸納法假設(shè)n等于k時(shí)成立，當(dāng)n等于k+1時(shí)，通分并利用等差數(shù)列的性質(zhì)可得也成立，得到n大于等于2時(shí)，此一般性結(jié)論都成立．

解答：解：（1）證明：由{a_n}為等差數(shù)列可得a_n-a_n-1=d（n≥2），則

1

a1

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

=

d

a1a2

得證；

C 0 2

a1

-

C 1 2

a2

+

C 2 2

a3

=

1

a1

-

2

a2

+

1

a3

=

1

a1

-

1

a2

+

1

a3

-

1

a2

=

a2-a1

a1a2

+

a2-a3

a2a3

=d•

a3-a1

a1a2a3

=

2d2

a1a2a3

得證；

C 0 3

a1

-

C 1 3

a2

+

C 2 3

a3

-

C 3 3

a4

=

1

a1

-

3

a2

+

3

a3

-

1

a4

=（

1

a1

-

1

a4

）-（

3

a2

-

3

a3

）
=

3d

a1a4

-

3d

a2a3

=3d•

a2a3-a1a4

a1a2a3a4

=

3d•2 d

a1a2a3a4

=

6d3

a1a2a3a4

得證．
（2）結(jié)論：

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-…+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2…an

，
證：①當(dāng)n=2，3，4時(shí)，等式成立，
②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1

a2

+

C 2 k-1

a3

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak

=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

成立，
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)镃_k^k-1=C_k-1^k-1+C_k-1^k-2，所以

C 0 k

a1

-

C 1 k

a2

+

C 2 k

a3

-+

(-1)k+2 C k k

ak+1

=

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1 + C 0 k-1

a2

+

C 2 k-1 + C 1 k-1

a3

-+

(-1)k+1( C k-1 k-1 + C k-2 k-1 )

ak

+

(-1)k+2 C k-1 k-1

ak+1

=(

C 0 k-1

a1

-

C 1 k-1

a2

+

C 2 k-1

a3

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak

)-(

C 0 k-1

a2

-

C 1 k-1

a3

+

C 2 k-1

a4

-+

(-1)k+1 C k-1 k-1

ak+1

)=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

-

(k-1)!dk-1

a2a3ak

=

(k-1)!dk-1

a1a2ak

(ak+1-a1)=

k!dk

a1a2akak+1

，
所以，當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立．
綜合①②知，

C 0 n-1

a1

-

C 1 n-1

a2

+

C 2 n-1

a3

-+

(-1)n+1 C n-1 n-1

an

=

(n-1)!dn-1

a1a2an

對(duì)n≥2都成立．

點(diǎn)評(píng)：此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡(jiǎn)求值，要求學(xué)生會(huì)根據(jù)特殊的等式歸納總結(jié)出一般性的結(jié)論并會(huì)利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，是一道中檔題．