Question

g（x）=ax--2f（x），其中f（x）=lnx，且g（e）=be--2（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）求a與b的關(guān)系；
（2）若g（x）在其定義域內(nèi)為增函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）證明：①f（x）≤x-1；②++…＜（n∈N，n≥2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題意及 可得結(jié)合可求a，b的關(guān)系
（2）由（1）知=，構(gòu)造函數(shù)h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）滿足：h（x）≥0恒成立即上恒成立，利用基本不等式可求得最大值，而得最大值
（3）證明：①即證：lnx-x+1≤0  （x＞0），設(shè)k（x）=lnx-x-1，由導(dǎo)數(shù)可判斷x=1為k（x）的極大值點，而k（x）≤k（1）可證，
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，可得令x=n²，得，從而可得，利用該不等式放縮可證
解答：解：（1）由題意
∵   
∴
∴
∴
∵∴a=b
（2）由（1）知：由題意（x＞0）
=
令h（x）=ax²-2x+a．要使g（x）在（0，+∞）為增函數(shù)，只需h（x）在（0，+∞）滿足：
h（x）≥0恒成立．
即ax²-2x+a≥0
上恒成立
又0
所以a≥1
（3）證明：①即證：lnx-x+1≤0  （x＞0），
設(shè)k（x）=lnx-x-1，則．
當(dāng)x∈（0，1）時，k′（x）＞0，∴k（x）為單調(diào)遞增函數(shù)；
當(dāng)x∈（1，∞）時，k′（x）＜0，∴k（x）為單調(diào)遞減函數(shù)；
∴x=1為k（x）的極大值點，
∴k（x）≤k（1）=0．
即lnx-x+1≤0，∴l(xiāng)nx≤x-1．
②由①知lnx≤x-1，又x＞0，
∴
∵nn∈N^*，n≥2，令x=n²，得
∴
∴
=
=
==
點評：本題主要考查了利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性、函數(shù)的極值的求解及利用放縮法證明不等式，還要注意裂項求和在解題中的應(yīng)用，屬于綜合性試題