Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=

π

2

，且AB=BC=2AD=2，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，△PAB是等邊三角形．
（1）求證：BD⊥PC；
（2）求二面角B-PC-D的大�。�

Answer 1

分析：（1）先取AB 中點為O，連接PO，CO，根據(jù)條件得到PO⊥AB，再結(jié)合側(cè)面PAB⊥底面ABCD，得到PO⊥底面ABCD，即可得到OC為PC在底面ABCD上的射影；最后結(jié)合△DAB≌△OBC得BD⊥OC即可得到結(jié)論．
（2）先取PC中點E，連接BE，DE，可以證得∠BED就是二面角B-PC-D的平面角；在通過求三角形BED的三邊長，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）取AB 中點為O，連接PO，CO，
∵△PAB 是等邊三角形，
∴PO⊥AB，
又∵側(cè)面PAB⊥底面ABCD，
∴PO⊥底面ABCD，
∴OC為PC在底面ABCD上的射影，
又∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=∠DAB=

π

2

，
∴△DAB≌△OBC，∴∠BCO=∠DBA，
∴BD⊥OC，∴BD⊥PC．
（2）取PC中點E，連接BE，DE，
∵PB=BC，
∴BE⊥PC，
又∵BD⊥PC，BE∩BD=B，
∴PC⊥平面BDE
，∴PC⊥DE，
∴∠BED就是二面角B-PC-D的平面角．
∵AB=BC=2AD=2，∠ABC=

π

2

，
∴BE=PF=

1

2

PC=

2

，PD=BD=

5

，
∴DE=

3

，
∴BE²+DE²=BD²，
∴∠BED=

π

2

．
即二面角B-PC-D的大小為：

π

2

．

點評：本題主要考察空間中直線和直線之間的位置關(guān)系以及二面角的求法．一般在證明線線垂直時，通常先證明線面垂直，進而推得線線垂直，或用三垂線定理或其逆定理．