Question

在高中數(shù)學課本中我們見過許多的“信息技術(shù)應用”，我們可以利用幾何畫板軟件的拖動、動畫及計算等功能來研究許多數(shù)學問題．比如：在平面內(nèi)做一條線段KL，以定點A為圓心，以|KL|為半徑作一圓，在圓內(nèi)取一定點F，在圓上取動點B，作線段BF的中垂線與圓A的半徑AB交于點P，當點B在圓上運動時，就會發(fā)現(xiàn)點P的運動軌跡．
（Ⅰ）你能猜出點P的軌跡是什么曲線嗎？請說明理由；若|KL|=6，|AF|=4，以線段AF的中點O為原點，以直線AF為x軸，建立平面直角坐標系，試求點P的軌跡方程；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，過點A作直線l與點P的軌跡交于兩點M、N，試求線段MN的中點Q的軌跡方程．

Answer 1

考點：軌跡方程

專題：綜合題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓，利用線段中垂線的性質(zhì)，即可得出結(jié)論；
（Ⅱ）利用點差法，可得線段MN的中點Q的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓．理由如下：
連接PF，則|PF|=|PB|，故|PA|+|PF|=|PA|+|PB|=|AB|=|KL|（定值）＞|AF|，
由橢圓的定義可知，點P的軌跡是以A，F(xiàn)為焦點的橢圓．
∵|KF|=6，|AF|=4，
∴2a=6，2c=4，
∴a=3，c=2，
∴b=

5

，
∴點P的軌跡方程為

x2

9

+

y2

5

=1；
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知A（-2，0），
設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），MN的中點Q（x，y）．
由點差法，可得x₁≠x₂，k_MN=

y1-y2

x1-x2

=

5(x1+x2)

-9(y1+y2)

=

5x

-9y

，
∴

5x

-9y

=

y

x+2

，即5x²+9y²+10x=0
x₁=x₂，Q（-2，0）也滿足上述方程，
∴線段MN的中點Q的軌跡方程為5x²+9y²+10x=0．

點評：本題考查軌跡方程，考察橢圓的定義，考查點差法，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．